微分

导数和微分的关系

$f$ 的导数 $\dfrac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x}=f'(x)$

$f$ 的微分 $\mathrm{d}f(x)=f'(x)\mathrm{d}x$

在符号上，导数和微分的关系就是 $\mathrm{d}x$ 在左边还是在右边的区别。

专业的定义 微分是函数增量的线性主部，你不用学。

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$\cos t \mathrm{d}t=\mathrm{d}\sin t$

$\dfrac{\mathrm{d}\sin x}{\mathrm{d}x}=\cos x \iff \mathrm{d}\sin x = \cos x \mathrm{d}x$

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全微分

$\mathrm dz=\dfrac{\partial z}{\partial x}\mathrm dx+\dfrac{\partial z}{\partial y}\mathrm dy$

$\dfrac{\partial z}{\partial x}\mathrm dx$：$z$ 对 $x$ 求偏导，即令 $y$ 为常数， $z$ 对 $x$ 求导。

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运算法则

运算	导数	微分
加法	$(f+g)'=f'+g'$	$\mathrm{d}(f+g)=\mathrm{d}f+\mathrm{d}g$
减法	$(f-g)'=f'-g'$	$\mathrm{d}(f-g)=\mathrm{d}f-\mathrm{d}g$
数乘	$(cf)'=cf'$	$\mathrm{d}cf=c\mathrm{d}f$
乘法	$(fg)'=f'g+fg'$	$\mathrm{d}fg=\mathrm{d}f\times g + f\times \mathrm{d}g$
除法	$(\dfrac{f}{g})'=\dfrac{f'g-fg'}{g^2}$	$\mathrm{d}\dfrac{f}{g}=\dfrac{\mathrm{d}f\times g - f\times \mathrm{d}g}{g^2}$
复合函数	$\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u}\cdot\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$
反函数	$\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}=\dfrac{1}{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}$

理论上无论多复杂的函数，它的导数都可以通过这几个求导法则求出来